【機率】樣本空間、事件、第摩根定理

一些重點整理

樣本空間與事件

將一個實驗中所有可能出現的結果 (outcome) 所形成的集合, 稱為一樣本空間, 記作 S。
由於每一種可能的結果皆屬於樣本空間, 故亦可稱為元素樣本點
事件 (event) 為一些結果所形成的集合且事件為 S 的子集, 以大寫字母 (A, B, C, . . .) 表示, 可分為以下兩種類型:

  1. 事件中只有包含一個元素, 稱作簡單事件 (simple event, 亦稱為樣本點), 例如投擲一顆骰子得點數 3。
  2. 事件中包含兩個以上的元素, 稱作複合事件 (compound event), 例如投擲兩顆骰子得點數和為 3 或 5 或 7。

若 A, B 兩事件滿足 A ∩ B = ∅ 時, 則稱此 A 事件與 B 事件為互斥事件 (disjoint events)。

題目練習

直接做題或許會比較好了解。

等機率樣本點的樣本空間

若樣本空間 S 為一有限的集合, 且在 S 中每一個樣本點發生的可能性皆相同時 (所謂equally likely), 則任意事件 A 發生的機率, 只需要計算該事件中樣本點個數與 S 中樣本點個數的比值, 即

其中 |A| 和 |S| 分別代表 A 和 S 樣本點的個數。 以下為幾個等機率樣本點的問題。

第摩根定理

當 A 事件的機率計算非常瑣碎, 而 A 的餘事件的機率計算相對較為容易時, 我們可藉由
A 的餘事件(A^c)來求出 A 事件的機率, 再搭配機率公設可推得下列定理。 此定理為第摩根
(De Morgan, 1806-1871) 在古典命題邏輯中所推論出來的結果, 被廣泛的應用在數學各個領
域中, 如邏輯、 計數及機率。 以下為其機率形式:

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